Dzimis 1585. gadā Valmierā, mācījās Rīgas Domskolā. No 1605. gada studēja Braunsbergas jezuītu skolā Austrumprūsijā, tad retoriku Polockas garīgajā skolā. 1607. gadā Viļņā iestājās jezuītu ordenī. 1609. – 1611. gadā studēja filozofiju Braunsbergas jezuītu kolēģijā un darbojās kā gramatikas skolotājs. 1612. gadā viņu nosūtīja apgūt filozofiju Ņesvižas jezuītu kolēģijā. No 1615. gada kā katoļu priesteris darbojās Pārdaugavas hercogistes jezuītu kolēģijās Rīgā un Cēsīs, kā arī Kurzemes un Zemgales hercogistes jezuītu iestādēs Ilūkstē un Jelgavā.
1619. gadā viņš apguva jezuītu ordeņa iekārtu un praktizēja askēzi Nesvižas jezuītu kolēģijā. 1621. gadā, kad Rīgai tuvojās zviedru karaļa Gustava Ādolfa karaspēks, priesteris Elgers atkal devās bēgļu gaitās uz Prūsiju, kur 1621. gadā Braunsbergā izdeva viņa sakārtoto latviešu katoļu garīgo dziesmu grāmatu ar notīm (“Geistliche catolische Gesänge..”), kuras vienīgais zināmais eksemplārs atrodas Viļņas Universitātes bibliotēkā. 1625. – 1631. gadā viņš darbojās jezuītu misijās Latgalē, Polockā, Oršā, Žemaitijā No 1631. līdz 1634. gadam viņs kā Polijas-Lietuvas karaspēka kapelāns piedalījās karā ar Krievijas caristi, vēlāk darbojās Smoļenskas un Oršas jezuītu iestādēs, kas tolaik atradās Polijas-Lietuvas pakļautībā. 1637. vai 1638. gadā ieradās Daugavpilī, kur līdz mūža galam strādāja kā lektors (litterarum humanarum lector et operarius) jezuītu kolēģijā un tulkoja katoļu baznīcas tekstus latviešu valodā, kas nodrukāti Viļņā lielākoties pēc viņa nāves. Otrā Ziemeļu kara laikā viņš 1655.-1667. gadā kopā ar citiem Daugavpils jezuītiem rada patvērumu Ilūkstes muižas īpašnieces Sibillas Līdinghauzenas Volfas-Zībergas.
Miris 1672. gada 30. septembrī Daugavpilī.
Elgera tulkotie evaņģēliju fragmenti iespiesti grāmatā “Evangelia toto anno singulis Dominicis et festis diebus juxta antiquam Ecclesiae consuetudinem in Livonia Lothavis praelegi solita” (“Evaņģēliji visām gada svētdienām un svētku dienām, kurus saskaņā ar veco baznīcas ieražu ir parasts lasīt priekšā Livonijas latviešiem”) 1672.g. Tajā pašā gadā iespiests arī Elgera tulkotais katehisms – “Catechismus seu brevis institutio doctrinae Christianae guingue capitibus comprehensa in gratiam gentis Lothavicae” (“Katehisms jeb kristīgās mācības īss izskaidrojums, piecās nodaļās ietverts par labu latviešu tautai”). Pēc gada, 1673. g. iznāk Elgera dziesmu grāmata “Cantines spirituales ex latinis, germanicis et polonicis translatae…”(“Garīgas dziesmas, no latīņu valodas, vācu un poļu valodas tulkotas, ar vairākām piedevām”). 1683.g. sastādījis triju valodu vārdnīcu „Dictionarium polono – latino – lottavicum, opus R.P.Georgii Elger S.I. in gratiam studiosae juventutis in lucen datum” („Poļu – latīņu – latviešu vārdnīca, cienījamā jezuītu tēva G.Elgera darbs, par labu studējošai jaunatnei gaismā laista ”), izmantojot kādu poļu-latīņu- lietuviešu vārdnīcu, daļēji iestrādājot Manceļa “Lettus” (1638) leksiku. Pirmais apzīmējis zilbes intonāciju latviešu valodā. Savos darbos lietojis pēc poļu rakstības parauga veidotu ortogrāfiju.